关于杨辉的历史地位，或许我们会首先想到他的杰出贡献在数学领域中的影响。当我们提及“杨辉三角”，一种几何排列的奇妙形式便浮现在我们的脑海中。这个三角的真正起源和发现者，却是北宋的数学家贾宪。这一发现比西方的帕斯卡三角早了六百年的时间，展现了我国古代数学的辉煌成就。
为什么称之为“杨辉三角”呢？其实，这其中涉及到历史的变迁和数学的传承。尽管杨辉在《详解九章算法》一书中提到了这一几何排列，并声明这是基于贾宪的发现，但人们仍然习惯称之为“杨辉三角”。这种命名并非因为谁最先发现，而是因为谁最先发表。杨辉的著作让这一发现得以流传至今。
“杨辉三角”旁边有一段杨辉的注释：“左衺乃积数，右衺乃隅算，中藏者皆廉。”翻译成现代语言就是，“杨辉三角”最外边的左、右斜线上的数字，分别是各次开方的积数和隅算的系数。这个三角虽然只给出了七列，但它揭示了每一个数与其肩上的两个数之间的关系。依据这种关系，我们可以轻松得到下一列的数字。
回到数学家贾宪，他发现了求高次方程数值解的立成释锁开方术。这个技术的核心是代换，例如求方程x^4=37的近似值。在没有符号普及的宋元时期，这是一个极其困难的问题。通过使用“杨辉三角”，我们可以轻松得到二项式的展开式，这为求解高次方程扫清了障碍。更重要的是，“杨辉三角”将二项式系数图形化，直观体现了组合数的内在代数性质。
那么，“杨辉三角”是如何得到的呢？这是纯粹的归纳还是基于严谨的推理证明？我更倾向于前者。因为在我国的宋元时期，尚未有组合学的相关内容。而“杨辉三角”从现代角度看，其实是二项式系数（组合数）在三角形中的一种几何排列。每一列的数字与二项式展开式的系数有着紧密的对应关系。这种直观的几何形式不仅简化了数学计算，还为我们揭示了组合学中的奥秘。
“杨辉三角”不仅是我国古代数学的瑰宝，也是世界数学史上的重要里程碑。它展现了我国古代数学家的智慧与才华，也为后世的数学家提供了宝贵的启示和灵感。以通俗的数学语言来解释，“杨辉三角”这一古老而神秘的数学符号，其实是对二项式定理的一个生动展现。当我们尝试理解这个三角如何计算时，其实就是在一个简单的二项式定理的证明过程。
二项式定理，对于每一个高中或大学的学生来说，都是耳熟能详的。当我们尝试展开形如(a + b)^n的式子时，我们会发现，各项的系数正好构成了“杨辉三角”的第n+1列。这个三角，在数学界有着举足轻重的地位，因为它揭示了数学中的组合规律。
关于二项式定理的证明，我们可以从简单的例子开始。比如当n=2时，(a + b)^2展开后，每一项的系数可以通过选择a或b的次数来确定。同理，当n=3时，我们也可以采用同样的方法理解a^2b的系数是如何得到的。一般的，(a + b)^n的展开式的每一项都是由n个(a+b)相乘得到的，每一项的系数都可以通过组合数学来确定。
关于这个定理的首个证明，要追溯到1654年，由法国数学家帕斯卡给出。帕斯卡也给出了类似的排列方式，欧洲数学家称之为“帕斯卡三角”。但实际上，这个三角与中国古代的“杨辉三角”有着深厚的渊源。随着全球文明的交流，人们渐渐认识到中国在这一领域的领先地位。
随着对印度古代文献的深入研究，人们发现“杨辉三角”的首发权可能归属于印度。例如，公元前2世纪的印度数学家Pingala已经有了这个三角的雏形。之后的印度数学家如Varāhamihira、Halayudha等也对此进行了详细的描述。而Mahāvīra更是走得更远，他相当于早于帕斯卡得到了组合数公式。这些都说明，这一数学成果在不同民族中都有过发现和发展。
尽管存在多个名称和不同的发现者，如帕斯卡、杨辉、贾宪等，但数学的发展是全人类共同的财富。像“杨辉三角”这样的数学成果，展示了人类的智慧和发展力。这种理解力和发展力让我们感到骄傲。因为数学不应该有国界，它是全球人民的共同努力促成的结果。我们应该珍惜这些成果，继续数学的奥秘，为人类的发展贡献力量。
